Calculate without using tables: $\;\;\;$ $\tan 9^\circ - \tan 63^\circ + \tan 81^\circ - \tan 27^\circ$
The given expression is: $\;\;$ $\tan 9^\circ - \tan 63^\circ + \tan 81^\circ - \tan 27^\circ$
$\tan 9^\circ - \tan \left(90^\circ - 27^\circ\right) + \tan \left(90^\circ - 9^\circ\right) - \tan 27^\circ$
$= \dfrac{\sin 9^\circ}{\cos 9^\circ} - \dfrac{\cos 27^\circ}{\sin 27^\circ} + \dfrac{\cos 9^\circ}{\sin 9^\circ} - \dfrac{\sin 27^\circ}{\cos 27^\circ}$
$= \dfrac{\sin^2 9^\circ + \cos^2 9^\circ}{\sin 9^\circ \cos 9^\circ} - \dfrac{\cos^2 27^\circ + \sin^2 27^\circ}{\sin 27^\circ \cos 27^\circ}$
$= \dfrac{1}{\sin 9^\circ \cos 9^\circ} - \dfrac{1}{\sin 27^\circ \cos 27^\circ}$
$= \dfrac{2}{2 \sin 9^\circ \cos 9^\circ} - \dfrac{2}{2 \sin 27^\circ \cos 27^\circ}$
$= \dfrac{2}{\sin \left(2 \times 9^\circ\right)} - \dfrac{2}{\sin \left(2 \times 27^\circ\right)}$
$= 2 \left(\dfrac{1}{\sin 18^\circ} - \dfrac{1}{\sin 54^\circ}\right)$
$= 2 \left(\dfrac{\sin 54^\circ - \sin 18^\circ}{\sin 54^\circ \sin 18^\circ}\right)$
$= \dfrac{2 \times 2 \sin \left(\dfrac{54^\circ - 18^\circ}{2}\right) \cos \left(\dfrac{54^\circ + 18^\circ}{2}\right)}{\sin 54^\circ \sin 18^\circ}$
$= \dfrac{4 \sin 18^\circ \cos 36^\circ}{\sin 54^\circ \sin 18^\circ}$
$= \dfrac{4 \cos 36^\circ}{\sin 54^\circ}$
$= \dfrac{4 \cos \left(90^\circ - 54^\circ\right)}{\sin 54^\circ}$
$= \dfrac{4 \sin 54^\circ}{\sin 54^\circ} = 4$