Simplify: $\;$ $a^2 \left(1 - a^2\right)^{\frac{-1}{2}} : \left\{\dfrac{1}{1 + \left[a \left(1 - a^2\right)^{\frac{-1}{2}}\right]^2} \times \dfrac{\left(1 - a^2\right)^{\frac{1}{2}} + a^2 \left(1 - a^2\right)^{\frac{-1}{2}}}{1 - a^2} \right\}$
$a^2 \left(1 - a^2\right)^{\frac{-1}{2}} : \left\{\dfrac{1}{1 + \left[a \left(1 - a^2\right)^{\frac{-1}{2}}\right]^2} \times \dfrac{\left(1 - a^2\right)^{\frac{1}{2}} + a^2 \left(1 - a^2\right)^{\frac{-1}{2}}}{1 - a^2} \right\}$
$= \dfrac{a^2}{\sqrt{1 - a^2}} : \left\{\dfrac{1}{1 + \dfrac{a^2}{1 - a^2}} \times \dfrac{\sqrt{1 - a^2} + \dfrac{a^2}{\sqrt{1 - a^2}}}{1 - a^2} \right\}$
$= \dfrac{a^2}{\sqrt{1 - a^2}} : \left\{\dfrac{1 - a^2}{1 - a^2 + a^2} \times \dfrac{1 - a^2 + a^2}{\left(1 - a^2\right) \sqrt{1 - a^2}} \right\}$
$= \dfrac{a^2}{\sqrt{1 - a^2}} : \dfrac{1}{\sqrt{1 - a^2}}$
$= \dfrac{a^2}{\sqrt{1 - a^2}} \times \sqrt{1 - a^2}$
$= a^2$