Simplify: $\;$ $\left[\dfrac{\left(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}\right)^2 - \sqrt[4]{16ab}}{a - b} + \dfrac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \left(\dfrac{a - b}{2 \sqrt{b}}\right)^{-1}\right]^{-1}$
$\left[\dfrac{\left(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}\right)^2 - \sqrt[4]{16ab}}{a - b} + \dfrac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \left(\dfrac{a - b}{2 \sqrt{b}}\right)^{-1}\right]^{-1}$
$= \left[\dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b} + 2 \sqrt[4]{ab} - 2 \sqrt[4]{ab}}{a - b} + \dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right) \left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)} - \dfrac{2 \sqrt{b}}{a - b} \right]^{-1}$
$= \left[\dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b} + \dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} - \dfrac{2 \sqrt{b}}{a - b}\right]^{-1}$
$= \left[\dfrac{2 \sqrt{a} - 2 \sqrt{b}}{a - b}\right]^{-1}$
$= \dfrac{a - b}{2 \left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)}$
$= \dfrac{\left(a - b\right) \left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)}{2 \left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right) \left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)}$
$= \dfrac{\left(a - b\right) \left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)}{2 \left(a - b\right)}$
$= \dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2}$