Simplify: $\;$ $\dfrac{1}{2} \left[\left(\sqrt{a^3 b^{-3}} - \sqrt{b^3 a^{-3}}\right) : \left(\dfrac{a^2 + b^2}{ab} + 1\right)\right] \times \dfrac{2 \left(a - b\right)^{-1}}{\left(ab\right)^{\frac{-1}{2}}}$ $\;\;$ for $\;$ $a > 0$, $\;$ $b > 0$, $\;$ $a \neq b$
$\dfrac{1}{2} \left[\left(\sqrt{a^3 b^{-3}} - \sqrt{b^3 a^{-3}}\right) : \left(\dfrac{a^2 + b^2}{ab} + 1\right)\right] \times \dfrac{2 \left(a - b\right)^{-1}}{\left(ab\right)^{\frac{-1}{2}}}$
$= \left[\left(\sqrt{\dfrac{a^3}{b^3}} - \sqrt{\dfrac{b^3}{a^3}}\right) : \dfrac{a^2 + b^2 + ab}{ab}\right] \times \dfrac{\sqrt{ab}}{\left(a - b\right)}$
$= \dfrac{a^3 - b^3}{\sqrt{a^3 b^3}} \times \dfrac{ab}{a^2 + b^2 + ab} \times \dfrac{\sqrt{ab}}{a - b}$
$= \dfrac{\left(a - b\right) \left(a^2 + ab + b^2\right)}{ab \sqrt{ab}} \times \dfrac{ab}{a^2 + b^2 + ab} \times \dfrac{\sqrt{ab}}{\left(a - b\right)}$
$= 1$ $\;\;$ for $\;$ $a > 0$, $\;$ $b > 0$, $\;$ $a \neq b$