Simplify: $\;$ $\left[\dfrac{3 - \sqrt{a}}{9 - a} + \dfrac{1}{3 - \sqrt{a}} - 6 \dfrac{a^2 + 162}{729 - a^3}\right]^{-1} + \dfrac{a \left(a + 9\right)}{54}$
$\left[\dfrac{3 - \sqrt{a}}{9 - a} + \dfrac{1}{3 - \sqrt{a}} - 6 \dfrac{a^2 + 162}{729 - a^3}\right]^{-1} + \dfrac{a \left(a + 9\right)}{54}$
$= \left[\dfrac{3 - \sqrt{a}}{\left(3\right)^2 - \left(\sqrt{a}\right)^2} + \dfrac{1}{3 - \sqrt{a}} - \dfrac{6 \left(a^2 + 162\right)}{\left(9\right)^3 - \left(a\right)^3}\right]^{-1} + \dfrac{a \left(a + 9\right)}{54}$
$= \left[\dfrac{3 - \sqrt{a}}{\left(3 + \sqrt{a}\right) \left(3 - \sqrt{a}\right)} + \dfrac{1}{3 - \sqrt{a}} - \dfrac{6 \left(a^2 + 162\right)}{\left(9 - a\right) \left(81 + 9a + a^2\right)}\right]^{-1} + \dfrac{a \left(a + 9\right)}{54}$
$= \left[\dfrac{1}{3 + \sqrt{a}} + \dfrac{1}{3 - \sqrt{a}} - \dfrac{6 \left(a^2 + 162\right)}{\left(9 - a\right) \left(81 + 9a + a^2\right)}\right]^{-1} + \dfrac{a \left(a + 9\right)}{54}$
$= \left[\dfrac{3 - \sqrt{a} + 3 + \sqrt{a}}{\left(3 + \sqrt{a}\right) \left(3 - \sqrt{a}\right)} - \dfrac{6 \left(a^2 + 162\right)}{\left(9 - a\right) \left(81 + 9a + a^2\right)}\right]^{-1} + \dfrac{a \left(a + 9\right)}{54}$
$= \left[\dfrac{6}{9 - a} - \dfrac{6 \left(a^2 + 162\right)}{\left(9 - a\right) \left(81 + 9a + a^2\right)}\right]^{-1} + \dfrac{a \left(a + 9\right)}{54}$
$= \left[\dfrac{6}{9 - a} \left(1 - \dfrac{a^2 + 162}{81 + 9a + a^2}\right)\right]^{-1} + \dfrac{a \left(a + 9\right)}{54}$
$= \left[\dfrac{6}{9 - a} \left(\dfrac{81 + 9a + a^2 - a^2 - 162}{81 + 9a + a^2}\right)\right]^{-1} + \dfrac{a \left(a + 9\right)}{54}$
$= \left[\dfrac{6 \left(9a - 81\right)}{\left(9 - a\right) \left(81 + 9a + a^2\right)}\right]^{-1} + \dfrac{a \left(a + 9\right)}{54}$
$= \left[\dfrac{6 \times 9 \left(a - 9\right)}{\left(9 - a\right) \left(81 + 9a + a^2\right)}\right]^{-1} + \dfrac{a \left(a + 9\right)}{54}$
$= \left[\dfrac{-54}{81 + 9a + a^2}\right]^{-1} + \dfrac{a^2 + 9a}{54}$
$= \dfrac{- \left(81 + 9a + a^2\right)}{54} + \dfrac{a^2 + 9a}{54}$
$= \dfrac{a^2 + 9a - a^2 - 9a - 81}{54}$
$= \dfrac{-81}{54}$
$= \dfrac{-3}{2}$