Simplify: $\;$ $\left\{\left(1 - a^2\right) : \left[\left(\dfrac{1 - a^{\frac{3}{2}}}{1 - a^{\frac{1}{2}}} + a^{\frac{1}{2}}\right) \left(\dfrac{1 + a^{\frac{3}{2}}}{1 + a^{\frac{1}{2}}} - a^{\frac{1}{2}}\right) \right] \right\} + 1$
$\left\{\left(1 - a^2\right) : \left[\left(\dfrac{1 - a^{\frac{3}{2}}}{1 - a^{\frac{1}{2}}} + a^{\frac{1}{2}}\right) \left(\dfrac{1 + a^{\frac{3}{2}}}{1 + a^{\frac{1}{2}}} - a^{\frac{1}{2}}\right) \right] \right\} + 1$
$= \left\{\left(1 - a^2\right) : \left[\left(\dfrac{1 - a^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{1}{2}} - a}{1 - a^{\frac{1}{2}}}\right) \left(\dfrac{1 + a^{\frac{3}{2}} - a^{\frac{1}{2}} - a}{1 + a^{\frac{1}{2}}}\right) \right] \right\} + 1$
$= \left\{\left(1 - a^2\right) : \left[\left(\dfrac{\left(1 - a\right) + a^{\frac{1}{2}} \left(1 - a\right)}{1 - a^{\frac{1}{2}}}\right) \left(\dfrac{\left(1 - a\right) - a^{\frac{1}{2}} \left(1 - a\right)}{1 + a^{\frac{1}{2}}}\right)\right] \right\} + 1$
$= \left\{\left(1 - a^2\right) : \left[\dfrac{\left(1 + a^{\frac{1}{2}}\right) \left(1 - a\right)}{\left(1 - a^{\frac{1}{2}}\right)} \times \dfrac{\left(1 - a\right) \left(1 - a^{\frac{1}{2}}\right)}{\left(1 + a^{\frac{1}{2}}\right)}\right] \right\} + 1$
$= \left\{\left(1 - a^2\right) : \left(1 - a\right)^2 \right\} + 1$
$= \dfrac{1 - a^2}{\left(1 - a\right)^2} + 1$
$= \dfrac{1 - a^2 + \left(1 - a\right)^2}{\left(1 - a\right)^2}$
$= \dfrac{1 - a^2 + 1 + a^2 - 2a}{\left(1 - a\right)^2}$
$= \dfrac{2 - 2a}{\left(1 - a\right)^2}$
$= \dfrac{2 \left(1 - a\right)}{\left(1 - a\right)^2}$
$= \dfrac{2}{1 - a}$