Simplify: $\;$ $\left[\dfrac{a^3 - 8}{a^2 - 5a + 6} - \dfrac{\left(a + 1\right)^2 + 3}{a - 3} + \dfrac{a^2 + a}{\sqrt[4]{a}}\right] : \dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt[4]{a^{-1} b^2}}$
$\left[\dfrac{a^3 - 8}{a^2 - 5a + 6} - \dfrac{\left(a + 1\right)^2 + 3}{a - 3} + \dfrac{a^2 + a}{\sqrt[4]{a}}\right] : \dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt[4]{a^{-1} b^2}}$
$= \left[\dfrac{\left(a - 2\right) \left(a^2 + 2a + 4\right)}{a^2 - 3a - 2a + 6} - \dfrac{a^2 + 2a + 1 + 3}{a - 3} + \dfrac{a \left(a + 1\right)}{a^{\frac{1}{4}}} \right] : \dfrac{a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}}{\left(a^{-1}\right)^{\frac{1}{4}} \left(b^2\right)^{\frac{1}{4}}}$
$= \left[\dfrac{\left(a - 2\right) \left(a^2 + 2a + 4\right)}{a \left(a - 3\right) - 2 \left(a - 3\right)} - \dfrac{a^2 + 2a + 4}{a - 3} + a^{\frac{3}{4}} \left(a + 1\right)\right] : a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{-1}{2}}$
$= \left[\dfrac{\left(a - 2\right) \left(a^2 + 2a + 4\right)}{\left(a - 2\right) \left(a - 3\right)} - \dfrac{a^2 + 2a + 4}{a - 3} + a^{\frac{3}{4}} \left(a + 1\right)\right] : a^{\frac{3}{4}}$
$= \left[\dfrac{a^2 + 2a + 4 - a^2 - 2a - 4}{a - 3} + a^{\frac{3}{4}} \left(a + 1\right)\right] : a^{\frac{3}{4}}$
$= \dfrac{0 + a^{\frac{3}{4}} \left(a + 1\right)}{a^{\frac{3}{4}}}$
$= a + 1$