Simplify: $\;$ $\left[\dfrac{a + 3b}{\left(a - b\right)^2} + \dfrac{a - 3b}{a^2 - b^2}\right] : \dfrac{a^2 + 3b^2}{\left(a - b\right)^2}$
$\left[\dfrac{a + 3b}{\left(a - b\right)^2} + \dfrac{a - 3b}{a^2 - b^2}\right] : \dfrac{a^2 + 3b^2}{\left(a - b\right)^2}$
$= \dfrac{\left(a + 3b\right) \left(a^2 - b^2\right) + \left(a - 3b\right) \left(a - b\right)^2}{\left(a - b\right)^2 \left(a^2 - b^2\right)} \times \dfrac{\left(a - b\right)^2}{a^2 + 3b^2}$
$= \dfrac{\left(a + 3b\right) \left(a + b\right) \left(a - b\right) + \left(a - 3b\right) \left(a - b\right)^2}{\left(a^2 - b^2\right) \left(a^2 + 3b^2\right)}$
$= \dfrac{\left(a - b\right) \left[\left(a + 3b\right) \left(a + b\right) + \left(a - 3b\right) \left(a - b\right)\right]}{\left(a + b\right) \left(a - b\right) \left(a^2 + 3b^2\right)}$
$= \dfrac{a^2 + ab + 3ab + 3b^2 + a^2 - ab - 3ab + 3b^2}{\left(a + b\right) \left(a^2 + 3b^2\right)}$
$= \dfrac{2a^2 + 6b^2}{\left(a + b\right) \left(a^2 + 3b^2\right)}$
$= \dfrac{2 \left(a^2 + 3b^2\right)}{\left(a + b\right) \left(a^2 + 3b^2\right)}$
$= \dfrac{2}{a + b}$