Express the matrix $A = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ as the sum of a symmetric and a skew symmetric matrix.
Given: $\;$ $A = \begin{bmatrix}
3 & 5 \\
1 & -1
\end{bmatrix}$
$\implies$ $A^{T} = \begin{bmatrix}
3 & 1 \\
5 & -1
\end{bmatrix}$
Symmetric part $= \dfrac{1}{2} \left(A + A^{T}\right)$
$= \dfrac{1}{2} \left\{\begin{bmatrix}
3 & 5 \\
1 & -1
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
3 & 1 \\
5 & -1
\end{bmatrix} \right\}$
$= \dfrac{1}{2} \begin{bmatrix}
6 & 6 \\
6 & -2
\end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix}
3 & 3 \\
3 & -1
\end{bmatrix}$
Skew symmetric part $= \dfrac{1}{2} \left(A - A^{T}\right)$
$= \dfrac{1}{2} \left\{\begin{bmatrix}
3 & 5 \\
1 & -1
\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}
3 & 1 \\
5 & -1
\end{bmatrix} \right\}$
$= \dfrac{1}{2} \begin{bmatrix}
0 & 4 \\
-4 & 0
\end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix}
0 & 2 \\
-2 & 0
\end{bmatrix}$
Hence, $\;$ $A = \dfrac{1}{2} \left(A + A^{T}\right) + \dfrac{1}{2} \left(A - A^{T}\right) = \begin{bmatrix}
3 & 3 \\
3 & -1
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
0 & 2 \\
-2 & 0
\end{bmatrix}$