In any $\triangle ABC$, prove that $\;$ $\dfrac{\left(a + b + c\right)^2}{a^2 + b^2 + c^2} = \dfrac{\cot \left(\dfrac{A}{2}\right) + \cot \left(\dfrac{B}{2}\right) + \cot \left(\dfrac{C}{2}\right)}{\cot A + \cot B + \cot C}$
In $\triangle ABC$,
$\cot \left(\dfrac{A}{2}\right) = \sqrt{\dfrac{s \left(s - a\right)}{\left(s - b\right) \left(s - c\right)}}$, $\;$ $\cot \left(\dfrac{B}{2}\right) = \sqrt{\dfrac{s \left(s - b\right)}{\left(s - c\right) \left(s - a\right)}}$, $\;$ $\cot \left(\dfrac{C}{2}\right) = \sqrt{\dfrac{s \left(s - c\right)}{\left(s - a\right) \left(s - b\right)}}$
$\cot A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{4 \sqrt{s \left(s - a\right) \left(s - b\right) \left(s - c\right)}}$, $\;$ $\cot B = \dfrac{c^2 + a^2 - b^2}{4 \sqrt{s \left(s - a\right) \left(s - b\right) \left(s - c\right)}}$, $\;$ $\cot C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{4 \sqrt{s \left(s - a\right) \left(s - b\right) \left(s - c\right)}}$
where $\;$ $s = \dfrac{a + b + c}{2}$ $\;$ is the semi perimeter of $\triangle ABC$ $\;\;\; \cdots \; (1a)$
$\implies$ $2 s = a + b + c$ $\;\;\; \cdots \; (1b)$
$\therefore \;$ $\cot \left(\dfrac{A}{2}\right) + \cot \left(\dfrac{B}{2}\right) + \cot \left(\dfrac{C}{2}\right)$
$= \sqrt{\dfrac{s \left(s - a\right)}{\left(s - b\right) \left(s - c\right)}} + \sqrt{\dfrac{s \left(s - b\right)}{\left(s - c\right) \left(s - a\right)}} + \sqrt{\dfrac{s \left(s - c\right)}{\left(s - a\right) \left(s - b\right)}}$
$= \sqrt{\dfrac{s^2 \left(s - a\right)^2}{s \left(s - a\right) \left(s - b\right) \left(s - c\right)}} + \sqrt{\dfrac{s^2 \left(s - b\right)^2}{s \left(s - a\right) \left(s - b\right) \left(s - c\right)}} $
$\hspace{6cm}$ $ + \sqrt{\dfrac{s^2 \left(s - c\right)^2}{s \left(s - a\right) \left(s - b\right) \left(s - c\right)}}$
$= \dfrac{s \left[s - a + s - b + s - c\right]}{\sqrt{s \left(s - a\right) \left(s - b\right) \left(s - c\right)}}$
$= \dfrac{s \left[3 s - \left(a + b + c\right)\right]}{\sqrt{s \left(s - a\right) \left(s - b\right) \left(s - c\right)}}$
$= \dfrac{s \left(3 s - 2s\right)}{\sqrt{s \left(s - a\right) \left(s - b\right) \left(s - c\right)}}$ $\;\;\;$ [by equation $(1b)$]
$= \dfrac{s^2}{\sqrt{s \left(s - a\right) \left(s - b\right) \left(s - c\right)}}$ $\;\;\; \cdots \; (2)$
and,
$\cot A + \cot B + \cot C$
$= \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{4 \sqrt{s \left(s - a\right) \left(s - b\right) \left(s - c\right)}} + \dfrac{c^2 + a^2 - b^2}{4 \sqrt{s \left(s - a\right) \left(s - b\right) \left(s - c\right)}}$
$\hspace{5.5cm}$ $ + \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{4 \sqrt{s \left(s - a\right) \left(s - b\right) \left(s - c\right)}}$
$= \dfrac{b^2 + c^2 - a^2 + c^2 + a^2 - b^2 + a^2 + b^2 - c^2}{4 \sqrt{s \left(s - a\right) \left(s - b\right) \left(s - c\right)}}$
$= \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{4 \sqrt{s \left(s - a\right) \left(s - b\right) \left(s - c\right)}}$ $\;\; \cdots \; (3)$
$\therefore \;$ We have from equations $(2)$ and $(3)$,
$\begin{aligned}
RHS & = \dfrac{\dfrac{s^2}{\sqrt{s \left(s - a\right) \left(s - b\right) \left(s - c\right)}}}{\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{4 \sqrt{s \left(s - a\right) \left(s - b\right) \left(s - c\right)}}} \\\\
& = \dfrac{4 s^2}{a^2 + b^2 + c^2} \\\\
& = \dfrac{4 \times \dfrac{\left(a + b + c\right)^2}{4}}{a^2 + b^2 + c^2} \;\;\; \left[\text{by equation (1a)}\right] \\\\
& = \dfrac{\left(a + b + c\right)^2}{a^2 + b^2 + c^2} \\\\
& = LHS
\end{aligned}$
Hence proved.