Prove that $\;$ $\overrightarrow{a} \times \left(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}\right) + \overrightarrow{b} \times \left(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}\right) + \overrightarrow{c} \times \left(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\right) = \overrightarrow{0}$
$\overrightarrow{a} \times \left(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}\right) = \left(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}\right) \overrightarrow{b} - \left(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\right) \overrightarrow{c}$ $\;\;\; \cdots \; (1a)$
$\overrightarrow{b} \times \left(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}\right) = \left(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}\right) \overrightarrow{c} - \left(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}\right) \overrightarrow{a}$ $\;\;\; \cdots \; (1b)$
$\overrightarrow{c} \times \left(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\right) = \left(\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b}\right) \overrightarrow{a} - \left(\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}\right) \overrightarrow{b}$ $\;\;\; \cdots \; (1c)$
Now, $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}$ $\;\;\; \cdots \; (2a)$;
$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b}$ $\;\;\; \cdots \; (2b)$;
$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$ $\;\;\; \cdots \; (2c)$
Adding equations $(1a)$, $(1b)$ and $(1c)$, we have
$\overrightarrow{a} \times \left(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}\right) + \overrightarrow{b} \times \left(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}\right) + \overrightarrow{c} \times \left(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\right)$
$= \left(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}\right) \overrightarrow{b} - \left(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\right) \overrightarrow{c} + \left(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}\right) \overrightarrow{c}$
$\;\;\;\;\;$ $- \left(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}\right) \overrightarrow{a} + \left(\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b}\right) \overrightarrow{a} - \left(\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}\right) \overrightarrow{b}$
$= \overrightarrow{0}$ $\;\;$ [by equations $(2a)$, $(2b)$ and $(2c)$]