Prove that $\cot x \cot 2x - \cot 2x \cot 3x - \cot 3x \cot x = 1$
$\cot \left(\alpha - \beta\right) = \dfrac{\cot \alpha \cot \beta + 1}{\cot \beta - \cot \alpha}$
$\implies$ $\cot \beta - \cot \alpha = \dfrac{\cot \alpha \cot \beta + 1}{\cot \left(\alpha - \beta\right)}$
$\begin{aligned}
\text{LHS} & = \cot x \cot 2x - \cot 2x \cot 3x - \cot 3x \cot x \\
& \\
& = \cot 2x \left(\cot x - \cot 3x\right) - \cot 3x \cot x \\
& \\
& = \cot 2x \left[\dfrac{\cot x \cot 3x + 1}{\cot \left(3x-x\right)}\right] - \cot 3x \cot x \\
& \\
& = \dfrac{\cot 2x \left(\cot x \cot 3x + 1\right)}{\cot 2x} - \cot 3x \cot x \\
& \\
& = \cot 3x \cot x + 1 - \cot 3x \cot x \\
& \\
& = 1 = \text{RHS}
\end{aligned}$