Find the inverse of the matrix $\begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 3 \end{bmatrix}$ using elementary transformations.
Let $A=$
$\begin{bmatrix}
2 & -1 & 3 \\
-5 & 3 & 1 \\
-3 & 2 & 3
\end{bmatrix}$, $I=$
$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} = $ Identity matrix of order 3
Let $A^{-1}$ be the inverse of A.
Then, $A \times A^{-1} = I$
i.e. $\begin{bmatrix}
2 & -1 & 3 \\
-5 & 3 & 1 \\
-3 & 2 & 3
\end{bmatrix} A^{-1} =$
$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$
Using row transformations:
$R_1 \rightarrow R_1+R_3 \implies$
$\begin{bmatrix}
-1 & 1 & 6 \\
-5 & 3 & 1 \\
-3 & 2 & 3
\end{bmatrix} A^{-1} =$
$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$
$R_2 \rightarrow R_2-R_3 \implies$
$\begin{bmatrix}
-1 & 1 & 6 \\
-2 & 1 & -2 \\
-3 & 2 & 3
\end{bmatrix} A^{-1}=$
$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$
$R_1 \rightarrow R_1-R_2 \implies$
$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 8 \\
-2 & 1 & -2 \\
-3 & 2 & 3
\end{bmatrix} A^{-1}=$
$\begin{bmatrix}
1 & -1 & 2 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$
$R_2 \rightarrow R_2+2R_1 \implies$
$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 8 \\
0 & 1 & 14 \\
-3 & 2 & 3
\end{bmatrix} A^{-1} =$
$\begin{bmatrix}
1 & -1 & 2 \\
2 & -1 & 3 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$
$R_3 \rightarrow R_3 + 3R_1 \implies$
$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 8 \\
0 & 1 & 14 \\
0 & 2 & 27
\end{bmatrix} A^{-1} =$
$\begin{bmatrix}
1 & -1 & 2 \\
2 & -1 & 3 \\
3 & -3 & 7
\end{bmatrix}$
$R_3 \rightarrow R_3 - 2R_2 \implies$
$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 8 \\
0 & 1 & 14 \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix} = A^{-1}$
$\begin{bmatrix}
1 & -1 & 2 \\
2 & -1 & 3 \\
-1 & -1 & 1
\end{bmatrix}$
$R_1 \rightarrow R_1+8R_3 \, , R_2 \rightarrow R_2+14R_3 \implies$
$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix} A^{-1} =$
$\begin{bmatrix}
-7 & -9 & 10 \\
-12 & -15 & 17 \\
-1 & -1 & 1
\end{bmatrix}$
$R_3 \rightarrow \left(-1\right)R_3 \implies$
$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} A^{-1} =$
$\begin{bmatrix}
-7 & -9 & 10 \\
-12 & -15 & 17 \\
1 & 1 & -1
\end{bmatrix}$
$\therefore A^{-1} =$
$\begin{bmatrix}
-7 & -9 & 10 \\
-12 & -15 & 17 \\
1 & 1 & -1
\end{bmatrix}$