If $A=$ $\begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$, then verify that $A^t A = I$
$A^t =$
$\begin{bmatrix}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{bmatrix}$
$\begin{aligned}
\therefore A^t A & =
\begin{bmatrix}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
-\sin \alpha & \cos \alpha
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{bmatrix} \\
& \\
& =
\begin{bmatrix}
\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha & -\cos \alpha \sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha \\
-\sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha
\end{bmatrix} \\
& \\
& =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \\
& \\
& = I
\end{aligned}$